Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且na_n+1-（n+1）a_n=2n²+2n．
（1）求a₂，a₃；
（2）證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系分別取n=1，2即可得出．
（2）由na_n+1-（n+1）a_n=2n²+2n，看到$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=2，即可證明．

解答 （1））解：由數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且na_n+1-（n+1）a_n=2n²+2n．
∴a₂-2×1=4，解得a₂=6．
2a₃-3×6=2×2²+2×2，解得a₃=15．
（2）證明：∵na_n+1-（n+1）a_n=2n²+2n．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+2（n-1）=2n-1，
解得a_n=2n²-n．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．