Question

11．有下列命題：
①已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，則平面內(nèi)任一向量$\overrightarrow{c}$都可表示為λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$，其中λ，μ∈R；
②對任意平面四邊形ABCD，點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，則$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$；
③直線x-y-2=0的一個(gè)方向向量為（1，-1）；
④在△ABC中，AB=2，AC=3，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=1$則BC=$\sqrt{3}$；
其中正確的是②④（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

分析 由向量的基本定理，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，即可判斷①；
由向量的多邊形法則，結(jié)合中點(diǎn)向量，即可判斷②；
由直線的方向向量為（1，k），k即為斜率，即可判斷③；
由向量的數(shù)量積的定義和余弦定理，解方程可得BC，即可判斷④．

解答 解：對①，由平面向量定理可得，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則平面內(nèi)任一向量$\overrightarrow{c}$都可表示為λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$，其中λ，μ∈R，故①錯(cuò)；
對②，對任意平面四邊形ABCD，點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CF}$，兩式相加可得2$\overrightarrow{EF}$=（$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{EB}$）+（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BC}$）+（$\overrightarrow{DF}$+$\overrightarrow{CF}$）=$\overrightarrow{0}$+（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BC}$）+$\overrightarrow{0}$，則$2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$，故②正確；
對③，直線x-y-2=0的一個(gè)方向向量為（1，1），故③錯(cuò)；
對④，在△ABC中，AB=2，AC=3，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=1$，可得-2BC•cosB=1，
由cosB=$\frac{4+B{C}^{2}-9}{4BC}$=-$\frac{1}{2BC}$，則BC=$\sqrt{3}$，故④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷，主要是平面向量基本定理和向量的多邊形法則、直線的方向向量和向量的數(shù)量積的定義及余弦定理的運(yùn)用，考查判斷能力，屬于中檔題．