Question

2．函數f（x）=4x³+ax²+bx+5在（-∞，-1）和（$\frac{3}{2}$，+∞）單調遞增，在（-1，$\frac{3}{2}$）單調遞減．
（1）求函數的解析式；
（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=12x²+2ax+b．根據函數f（x）=4x³+ax²+bx+5在（-∞，-1）和（$\frac{3}{2}$，+∞）單調遞增，在（-1，$\frac{3}{2}$）單調遞減．可得-1，$\frac{3}{2}$是f′（x）=0的兩個實數根．利用根與系數的關系即可得出．
（2）由f′（x）=12x²-6x-18=12（x+1）（x-$\frac{3}{2}$），可知：函數f（x）在[-1，$\frac{3}{2}$）單調遞減，函數f（x）在（$\frac{3}{2}$，2）上單調遞增．進而得出最值．

解答 解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b．
∵函數f（x）=4x³+ax²+bx+5在（-∞，-1）和（$\frac{3}{2}$，+∞）單調遞增，在（-1，$\frac{3}{2}$）單調遞減．
∴-1，$\frac{3}{2}$是f′（x）=12x²+2ax+b=0的兩個實數根．
∴-1+$\frac{3}{2}$=-$\frac{a}{6}$，-1×$\frac{3}{2}$=$\frac{12}$．
解得a=-3，b=-18．
∴f′（x）=12x²-6x-18=12（x+1）（x-$\frac{3}{2}$），滿足條件．
∴f（x）=4x³-3x²-12x+5．
（2）由f′（x）=12x²-6x-18=12（x+1）（x-$\frac{3}{2}$），
可知：函數f（x）在[-1，$\frac{3}{2}$）單調遞減，函數f（x）在（$\frac{3}{2}$，2）上單調遞增．
∴當x=$\frac{3}{2}$時，函數f（x）取得極小值即最小值，$f（\frac{3}{2}）$=-$\frac{25}{4}$．
又f（-1）=10，f（2）=1．
∴x=-1時，函數f（x）取得最大值為10．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．