Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．若數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)按如下規(guī)則排列：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$…$\frac{1}{n}$，$\frac{2}{n}$，…$\frac{n-1}{n}$…若存在正整數(shù)k，使S_k-1＜10，S_k＞10，則a_k=$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 把原數(shù)列劃分，發(fā)現(xiàn)他們的個(gè)數(shù)是1，2，3，4，5…構(gòu)建新數(shù)列b_n，很顯然是個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的和知道T₅=$\frac{15}{2}$，T₆=$\frac{21}{2}$，所以a_k定在$\frac{1}{7}$，$\frac{2}{7}$，…，$\frac{6}{7}$中，在根據(jù)S_k-1＜10，S_k≥10求出具體結(jié)果．

解答 解：把原數(shù)列分組，分母相同的為一組，發(fā)現(xiàn)他們的個(gè)數(shù)是1，2，3，4，5…
構(gòu)建新數(shù)列{b_n}，表示數(shù)列中每一組的和，則b_n=$\frac{n}{2}$是個(gè)等差數(shù)列，記{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
利用等差數(shù)列的和知道T₅=$\frac{15}{2}$，T₆=$\frac{21}{2}$，
所以a_k定在$\frac{1}{7}$，$\frac{2}{7}$，…，$\frac{6}{7}$中，
又因?yàn)镾_k-1＜10，S_k≥10，而T₅+$\frac{1}{7}$+$\frac{2}{7}$+…+$\frac{5}{7}$=9+$\frac{9}{14}$＜10，T₅+$\frac{1}{7}$+$\frac{2}{7}$+…+$\frac{5}{7}$+$\frac{6}{7}$=10+$\frac{1}{2}$＞10，
故第k項(xiàng)為a_k=$\frac{6}{7}$．
故答案為$\frac{6}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題目主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)列的觀察能力，找出數(shù)列之間的相互關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和計(jì)算公式，根據(jù)已有條件計(jì)算．考查學(xué)生的計(jì)算能力．