Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=-x²-3，g（x）=2xlnx-ax，且函數(shù)f（x）與g（x）在x=1處的切線平行．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）在（1，g（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）-f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，從而求出g（1），g′（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$恒成立，設(shè)h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-2x，g′（x）=2lnx+2-a，
∵函數(shù)f（x）與g（x）在x=1處的切線平行，
∴f′（1）=g′（1），解得：a=4，
故g（1）=-4，g′（1）=-2，
故函數(shù)g（x）在（1，g（1））處的切線方程是：2x+y+2=0；
（Ⅱ）x∈（0，+∞）時(shí)，由g（x）-f（x）≥0恒成立，
得x∈（0，+∞）時(shí)，2xlnx-ax+x³+3≥0，
即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$恒成立，
設(shè)h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），
則h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，
x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
故h（x）_min=h（1）=4，
故a的范圍是（-∞，4]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．