Question

13．在△ABC中，已知cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，C=$\frac{3π}{4}$，b=$\sqrt{2}$，若△ABC最大邊的邊長為$\sqrt{10}$，則△ABC的面積為1．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinB，利用正弦定理可求c的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：在△ABC中，∵cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又∵C=$\frac{3π}{4}$，b=$\sqrt{2}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）+$$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴由$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\sqrt{10}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{10}×$$\frac{\sqrt{5}}{5}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．