Question

16．函數(shù)y=sin（$\frac{3π}{2}$+x）cos（$\frac{π}{6}$-x）的最大值為$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 利用誘導公式和積化和差公式對函數(shù)解析式化簡整理，進而根據(jù)正弦函數(shù)的值域求得函數(shù)的最大值．

解答 解：y=sin（$\frac{3π}{2}$+x）cos（$\frac{π}{6}$-x）=-cosxcos（$\frac{π}{6}$-x）
=-cosx$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosx+\frac{1}{2}sinx）$=$-（\frac{\sqrt{3}}{2}co{s}^{2}x+\frac{1}{2}sinxcosx）$
=$-（\frac{\sqrt{3}}{4}cos2x+\frac{1}{4}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{4}）$
=$-\frac{1}{2}sin（\frac{π}{3}+2x）-\frac{\sqrt{3}}{4}$≤$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$，
當2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z時，即x=kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z時，取得最大值$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的最值，利用誘導公式和積化和差公式的化簡求值，熟練掌握三角函數(shù)基礎公式是解題的關鍵，是中檔題．