Question

1．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R）．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程； 
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，2）上僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a＞1，且方程f（x）=a-x在區(qū)間[-a，0]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（0），f′（0），從而求出切線(xiàn)方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到關(guān)于a的不等式組，求出a的范圍即可；
（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x-a=x³+（1-3a）x-a，等價(jià)于函數(shù)h（x）在[-a，0]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=3（x²-a），所以f'（0）=-3a，
因?yàn)閒（0）=0，
所以曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為y=-3ax．…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=3（x²-a），所以，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≥0在R上恒成立，
所以f（x）在R上單調(diào)遞增，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)，不符合題意；…（5分）
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0得$x=±\sqrt{a}$，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）與f（x）的變化情況如下表所示：

x	（-∞，$-\sqrt{a}$）	$-\sqrt{a}$	（$-\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-1，2）僅有一個(gè)極值點(diǎn)，
所以$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{a}＜2\\-\sqrt{a}≤-1.\end{array}\right.$所以1≤a＜4．…（9分）
（Ⅲ） 令h（x）=f（x）+x-a=x³+（1-3a）x-a，
方程f（x）=a-x在[-a，0]上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)h（x）在[-a，0]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)．h'（x）=3x²+（1-3a），
因?yàn)閍＞1，令h'（x）=0，得$x=±\sqrt{a-\frac{1}{3}}$，…（10分）
所以$\left\{\begin{array}{l}h（0）≤0\\ h（-a）≤0\\ h（-\sqrt{a-\frac{1}{3}}）＞0.\end{array}\right.$所以  $\left\{\begin{array}{l}a≥0\\-{a^3}+3{a^2}-2a≤0\\{（-\sqrt{a-\frac{1}{3}}）^3}-（1-3a）\sqrt{a-\frac{1}{3}}-a＞0.\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a≥0\\ a≤1或a≥2\\（2a-\frac{2}{3}）\sqrt{a-\frac{1}{3}}-a＞0.\end{array}\right.$…（12分）
因?yàn)閍＞1，所以$（2a-\frac{2}{3}）\sqrt{a-\frac{1}{3}}-a＞0$恒成立．
所以a≥2，所以實(shí)數(shù)a的最小值為2．…（14分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．