Question

17．定義符號(hào)函數(shù)為sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，則下列命題：
①|(zhì)x|=x•sgn（x）；
②關(guān)于x的方程lnx•sgn（lnx）=sinx•sgn（sinx）有5個(gè)實(shí)數(shù)根；
③若lna•sgn（lna）=lnb•sgn（lnb）（a＞b），則a+b的取值范圍是（2，+∞）；
④設(shè)f（x）=（x²-1）•sgn（x²-1），若函數(shù)g（x）=f²（x）+af（x）+1有6個(gè)零點(diǎn)，則a＜-2．
正確的有（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 由x＞0，x=0，x＜0，結(jié)合符號(hào)函數(shù)即可判斷①；
由符號(hào)函數(shù)可得f（x）=lnx•sgn（lnx），g（x）=sinx•sgn（sinx），畫(huà)出它們的圖象，即可判斷②；
由題意可得a＞1，0＜b＜1，推得ab=1，由基本不等式即可判斷③；
由符號(hào)函數(shù)，畫(huà)出y=f（x）的圖象，令t=f（x），即有方程t²+at+1=0的兩根，一個(gè)大于1，另一個(gè)介于（0，1），結(jié)合二次函數(shù)的圖象，可得不等式組，解不等式即可判斷④．

解答 解：①當(dāng)x＞0時(shí)，x•sgn（x）=x，
當(dāng)x=0時(shí)，x•sgn（x）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，x•sgn（x）=-x．
故|x|=x•sgn（x）成立，
故①正確；
②設(shè)f（x）=lnx•sgn（lnx），
當(dāng)lnx＞0即x＞1時(shí)，f（x）=lnx，
當(dāng)lnx=0即x=1時(shí)，f（x）=0，
當(dāng)lnx＜0即0＜x＜1時(shí)，f（x）=-lnx，
作出y=f（x）的圖象（如右上）；
設(shè)g（x）=sinx•sgn（sinx），
當(dāng)sinx＞0時(shí)，g（x）=sinx，
當(dāng)sinx=0時(shí)，g（x）=0，
當(dāng)sinx＜0時(shí)，g（x）=-sinx，
畫(huà)出y=g（x）的圖象（如右上），
由圖象可得y=f（x）和y=g（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，
則關(guān)于x的方程lnx•sgn（lnx）=sinx•sgn（sinx）有2個(gè)實(shí)數(shù)根，
故②錯(cuò)誤；
③若lna•sgn（lna）=lnb•sgn（lnb）（a＞b），
則a＞1，0＜b＜1，即有l(wèi)na=-lnb，
可得lna+lnb=0，即ab=1，
則a+b＞2$\sqrt{ab}$=2，則a+b的取值范圍是（2，+∞），
故③正確；
④設(shè)f（x）=（x²-1）•sgn（x²-1），
當(dāng)x²-1＞0即x＞1或x＜-1，即有f（x）=x²-1，
當(dāng)x²-1=0即x=±1，f（x）=0，
當(dāng)x²-1＜0即-1＜x＜1，f（x）=1-x²，
作出f（x）的圖象，（如下圖）
令t=f（x），可得函數(shù)y=t²+at+1，
若函數(shù)g（x）=f²（x）+af（x）+1有6個(gè)零點(diǎn)，
則t²+at+1=0有6個(gè)實(shí)根，
由于t=0不成立，方程t²+at+1=0的兩根，一個(gè)大于1，另一個(gè)介于（0，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{{0}^{2}+a•0+1＞0}\\{{1}^{2}+a+1＜0}\\{△={a}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$即為$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2}\\{a＞2或a＜-2}\end{array}\right.$，解得a＜-2，
故④正確．
故正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及分類(lèi)討論的思想方法，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，屬于難題．