Question

3．已知O為△ABC內一點，且$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，$\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AC}$，若B，O，D三點共線，則t的值為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 以OB，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與 BC相交于點E，E為BC的中點．由$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，可得$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{OE}$，點O是直線AE的中點．根據$\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AC}$，B，O，D三點共線，可得點D是BO與AC的交點．過點O作OM∥BC交AC于點M，則點M為AC的中點．即可得出．

解答 解：以OB，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與 BC相交于點E，E為BC的中點．
∵$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{OE}$，
∴點O是直線AE的中點．
∵$\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AC}$，B，O，D三點共線，
∴點D是BO與AC的交點．
過點O作OM∥BC交AC于點M，則點M為AC的中點．
則OM=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{4}$BC，$\frac{DM}{DC}$=$\frac{1}{4}$，
∴DM=$\frac{1}{3}$MC，
∴AD=$\frac{2}{3}$AM=$\frac{1}{3}$AC，
∴t=$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了向量共線定理、向量三角形與平行四邊形法則、平行線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．