Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)B是橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓C上（異于B點(diǎn)）．
（Ⅰ）若橢圓V過(guò)點(diǎn)（-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+b與橢圓C交于B、P兩點(diǎn)，若以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B，證明：存在k∈R，$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率公式求得a和b的關(guān)系，將（-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，求得P的橫坐標(biāo)，求得丨BP丨，利用直線垂直的斜率關(guān)系求得丨BQ丨，由$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判斷即可存在k∈R，$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a²=2b²，
將點(diǎn)（-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入橢圓方程$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1$，解得：a²=4，b²=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
（Ⅱ）由題意的對(duì)稱性可知：設(shè)存在存在k＞0，使得$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$，
由a²=2b²，橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
將直線方程代入橢圓方程，整理得：（1+2k²）x²+4kbx=0，
解得：x_P=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，則丨BP丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，
由BP⊥BQ，則丨BQ丨=$\sqrt{1+（-\frac{1}{k}）^{2}}$×丨$\frac{4（-\frac{1}{k}）b}{1+2（-\frac{1}{k}）^{2}}$丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4b}{{k}^{2}+2}$，
由$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$．，則2$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4b}{{k}^{2}+2}$，
整理得：2k³-2k²+4k-1=0，
設(shè)f（x）=2k³-2k²+4k-1，由f（$\frac{1}{4}$）＜0，f（$\frac{1}{2}$）＞0，
∴函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，
∴存在k∈R，$\frac{|BP|}{|BQ|}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的離心率，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．