分析 1)設(shè)出雙曲線方程,由條件可得c,再由離心率公式.可得a,再由a,b,c的關(guān)系,可得b,進(jìn)而得到雙曲線方程;
(2)假設(shè)存在,設(shè)過P(1,1)的直線方程為:y-1=k(x-1),A,B兩點的坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),代入雙曲線方程,再相減,運用平方差公式和中點坐標(biāo)公式,及斜率公式,即可得到所求直線的斜率,進(jìn)而得到直線方程,檢驗判別式即可判斷.
解答 解:(1)設(shè)雙曲線方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>0,b>0)
由離心率e=$\frac{c}{a}$=3,即c=3a,焦距為2c=6,則c=3,a=1,
b2=c2-a2=8,
則雙曲線方程為:x2-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1;
(2)假設(shè)存在過點P(1,1)的直線l與該雙曲線交于A,B兩點,
且點P是線段AB的中點.
設(shè)過P(1,1)的直線方程為:y-1=k(x-1),A,B兩點的坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),
則$\left\{\begin{array}{l}{8{x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}=8}\\{8{x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}=8}\end{array}\right.$,相減可得,8(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
由P為AB的中點,則x1+x2=2,y1+y2=2,
則k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=8,
即有直線AB的方程:y-1=8(x-1),即有y=8x-7,
$\left\{\begin{array}{l}{y=8x-7}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$,整理得:56x2-112x+41=0,
檢驗判別式為△=1122-4×56×41=3360>0,方程有兩個不相等實根.
故存在過點P(1,1)的直線l與該雙曲線交于A,B兩點,且點P是線段AB的中點.
直線l的方程為y=8x-7.
點評 本題考查雙曲線的方程、性質(zhì)和運用,考查點差法求中點問題,注意檢驗判別式的符號,考查運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | sinx | B. | -sinx | C. | cosx | D. | -cosx |
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