Question

20．設i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)．
（1）證明：（cosx+isinx）ⁿ=cosnx+isinnx；
（2）結(jié)合等式“[1+（cosx+isinx）]ⁿ=[（1+cosx）+isinx]ⁿ”，證明：1+${C}_{n}^{1}$cosx+${C}_{n}^{2}$cos2x+…+${C}_{n}^{n}$cosnx=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)學歸納法即可證明；
（2）由（1）可知：[1+（cosx+isinx）]ⁿ=$\sum_{r=0}^{n}$${C}_{n}^{r}$（cosx+isinx）^r=$\sum_{r=0}^{n}$${C}_{n}^{r}$（cosrx+isinrx），求得其實部，等式右邊[（1+cosx）+isinx]ⁿ=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$（cos$\frac{x}{2}$+isin$\frac{x}{2}$）ⁿ=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$（+isin$\frac{nx}{2}$），則其實部為2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$，由兩個復數(shù)相等，其實部也相等，即可證明1+${C}_{n}^{1}$cosx+${C}_{n}^{2}$cos2x+…+${C}_{n}^{n}$cosnx=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$．

解答 解：（1）證明：①當n=1時，左邊=cosx+isinx=右邊，此時等式成立；
②假設當n=k時，等式成立，即（cosx+isinx）^k=coskx+isinkx．
則當n=k+1時，（cosx+isinx）^k+1=（cosx+isinx）^k（cosx+sinx）
=（coskx+isinkx）（cosx+isinx）=coskxcosx-sinkxsinx+（coskxsinx+sinkxcosx）i
=cos[（k+1）x]+isin[（k+1）x]，
∴當n=k+1時，等式成立．
由①②得，（cosx+isinx）ⁿ=cosnx+isinnx；
（2）證明：由（1）得：[1+（cosx+isinx）]ⁿ=$\sum_{r=0}^{n}$${C}_{n}^{r}$（cosx+isinx）^r=$\sum_{r=0}^{n}$${C}_{n}^{r}$（cosrx+isinrx），
其實部為1+${C}_{n}^{1}$cosx+${C}_{n}^{2}$cos2x+…+${C}_{n}^{n}$cosnx，
[（1+cosx）+isinx]ⁿ=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$（cos$\frac{x}{2}$+isin$\frac{x}{2}$）ⁿ=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$（+isin$\frac{nx}{2}$），
其實部為2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$，
由兩個復數(shù)相等，其實部也相等，即1+${C}_{n}^{1}$cosx+${C}_{n}^{2}$cos2x+…+${C}_{n}^{n}$cosnx=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$．
∴1+${C}_{n}^{1}$cosx+${C}_{n}^{2}$cos2x+…+${C}_{n}^{n}$cosnx=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$．

點評 本題考查數(shù)學歸納法的應用，考查復數(shù)相等的充要條件，二項式的應用，三角恒等變換的應用，考查不等式的證明，屬于中檔題．