已知函數(shù),.
(Ⅰ) 求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ) 若函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅲ) 若方程有唯一解,試求實(shí)數(shù)的值.
(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)
解析試題分析:(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b7/c/17vjb2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以切線的斜率
2分
又,故所求切線方程為,即 4分
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8c/8/1rj0b2.png" style="vertical-align:middle;" />,又,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), .
即在上遞增,在上遞減 5分
又,所以在上遞增,在上遞減 6分
欲與在區(qū)間上均為增函數(shù),則,解得 8分
(Ⅲ) 原方程等價(jià)于,令,則原方程即為. 9分
因?yàn)楫?dāng)時(shí)原方程有唯一解,所以函數(shù)與的圖象在軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn) 10分
又,且,
所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞減.
故在處取得最小值. 12分
從而當(dāng)時(shí)原方程有唯一解的充要條件是. 13分
考點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性最值
點(diǎn)評:第一問利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率,進(jìn)而得到直線方程,由導(dǎo)數(shù)大于零可求得增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于零可得減區(qū)間,第三問將方程有一個(gè)根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像只有唯一交點(diǎn),結(jié)合圖像需求函數(shù)最值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)對定義域內(nèi)的任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)=,其中a≠0.
(1)若對一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn),,記直線AB的斜率為K,問:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù),.
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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