Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-alnx
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e²]內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值即可；
（2）通過討論a的范圍，若滿足f（x）在區(qū)間（1，e²]內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，需滿足$\left\{\begin{array}{l}{1＜\sqrt{a}{＜e}^{2}}\\{f（\sqrt{a}）＜0}\\{f（1）＞0}\\{f{（e}^{2}）≥0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-alnx，得f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$（x＞0），
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)無極大值，也無極小值；
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x=$\sqrt{a}$或x=-$\sqrt{a}$（舍去）．
于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（0，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	$\frac{a（1-lna）}{2}$	遞增

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\sqrt{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間是（$\sqrt{a}$，+∞）．
函數(shù)f（x）在x=$\sqrt{a}$處取得極小值f（$\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$，無極大值．
綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），函數(shù)既無極大值也無極小值；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\sqrt{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\sqrt{a}$，+∞），
函數(shù)f（x）有極小值$\frac{a（1-lna）}{2}$，無極大值．
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e²]上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）知，當(dāng)x∈（0，$\sqrt{a}$）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（$\sqrt{a}$，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（$\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$．
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e²]內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
則需滿足$\left\{\begin{array}{l}{1＜\sqrt{a}{＜e}^{2}}\\{f（\sqrt{a}）＜0}\\{f（1）＞0}\\{f{（e}^{2}）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1＜a{＜e}^{4}}\\{\frac{a（1-lna）}{2}＜0}\\{\frac{1}{2}＞0}\\{\frac{{e}^{4}}{2}-2a≥0}\end{array}\right.$整理得$\left\{\begin{array}{l}{1＜a{＜e}^{4}}\\{a＞e}\\{a≤\frac{{e}^{4}}{4}}\end{array}\right.$，所以e＜a≤$\frac{{e}^{4}}{4}$．
故所求a的取值范圍為（e，$\frac{{e}^{4}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．