Question

16．把a(bǔ)，b，c，d排成形如$（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）$的式子，稱為二行二列矩陣，定義矩陣的一種運(yùn)算該$（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）．（{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}）=（{\begin{array}{l}ax+by\\ cx+dy\end{array}}）$，運(yùn)算的幾何意義為：平面上的點(diǎn)（x，y）在矩陣$（{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}）$的作用下變換成點(diǎn)（ax+by，cx+dy）．
（1）求點(diǎn)（2，3）在$（{\begin{array}{l}0&1\\ 1&0\end{array}}）$的作用下形成的點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）若曲線x²+4xy+2y²=1在矩陣$（{\begin{array}{l}1&a\\ b&1\end{array}}）$的作用下變成曲線x²-2y²=1，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）$（{\begin{array}{l}0&1\\ 1&0\end{array}}）（{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}）=（{\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}}）$，即可得出結(jié)論；
（2）在曲線x²+4xy+2y²=1上任取一點(diǎn)（m，n），則$（{\begin{array}{l}1&a\\ b&1\end{array}}）（{\begin{array}{l}m\\ n\end{array}}）=（{\begin{array}{l}m+an\\ bm+n\end{array}}）$，將（m+an，bm+n）代入x²-2y²=1，由此能求出a，b的值．

解答 解：（1）$（{\begin{array}{l}0&1\\ 1&0\end{array}}）（{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}）=（{\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}}）$，所以點(diǎn)（2，3）在$（{\begin{array}{l}0&1\\ 1&0\end{array}}）$的作用下變成點(diǎn)（3，2）．
（2）在曲線x²+4xy+2y²=1上任取一點(diǎn)（m，n），
則$（{\begin{array}{l}1&a\\ b&1\end{array}}）（{\begin{array}{l}m\\ n\end{array}}）=（{\begin{array}{l}m+an\\ bm+n\end{array}}）$，將（m+an，bm+n）代入x²-2y²=1，
得（m+an）²-2（bm+n）²=1，
即（1-2b²）m²+2（a-2b）mn+（a²-2）n²=1．
又點(diǎn)（m，n）在曲線x²+4xy+2y²=1上，所以m²+4mn+2n²=1．
前面兩個(gè)式子對(duì)照，由待定系數(shù)法可知：$\left\{\begin{array}{l}1-2{b^2}=1\\ 2（a-2b）=4\\{a^2}-2=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}}\right.$，所以a+b=2．

點(diǎn)評(píng) 本題以矩陣為載體，考查矩陣的乘法，考查矩陣變換的應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．