Question

4．已知各項不為零的數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，且滿足S_n=λa_n-1，若{a_n}為遞增數(shù)列，則λ的取值范圍為λ＜0或λ＞1．

Answer 1

分析 n=1時，a₁=λa₁-1，λ≠1，解得a₁=$\frac{1}{λ-1}$．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$．由于{a_n}為遞增數(shù)列，對λ分類討論即可得出．

解答 解：n=1時，a₁=λa₁-1，λ≠1，解得a₁=$\frac{1}{λ-1}$．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=λa_n-1-（λa_n-1-1），化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$．
∵{a_n}為遞增數(shù)列，∴λ＞1時，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$＞1，恒成立，因此λ＞1．
λ＜1時，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$∈（0，1），解得λ＜0．
故答案為：λ＜0或λ＞1．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義通項公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．