Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{{\sqrt{2}}}{8}$，a₂=$\frac{{\sqrt{33}}}{33}$，（a_n＞0），$\frac{{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}}{{{a}_{n-1}}^{2}}$=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$（n≥2），則a₂₀₁₇=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{64}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{64}$
• C． $\frac{1}{32}$
• D． $\frac{33}{32}$

Answer 1

分析 將已知等式變形，可得$\frac{1}{{{a}_{n-1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{2}{{{a}_{n}}^{2}}$，即有{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}為首項為32，公差為1的等差數(shù)列，運用等差數(shù)列的通項公式計算即可得到所求值．

解答 解：$\frac{{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}}{{{a}_{n-1}}^{2}}$=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$（n≥2），
可得$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n-1}}^{2}}$-1=1-$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$，
即有$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n-1}}^{2}}$+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$=2，
即有$\frac{1}{{{a}_{n-1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{2}{{{a}_{n}}^{2}}$，
即$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n-1}}^{2}}$=…=$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$=33-32=1，
可得{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}為首項為32，公差為1的等差數(shù)列，
即有$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=32+n-1=n+31，
a_n＞0，可得a_n=$\frac{1}{\sqrt{n+31}}$，
則a₂₀₁₇=$\frac{1}{\sqrt{2017+31}}$=$\frac{\sqrt{2}}{64}$．
故選：B．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，注意變形，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．