Question

9．設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{_{2}^{2}}$=1（a₂＞b₂＞0）的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)M，∠F₁MF₂=90°，若橢圓的離心率e₁∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]，則雙曲線C₂的離心率e₂的取值范圍為$[\frac{2\sqrt{14}}{7}，\frac{3\sqrt{2}}{2}]$．

Answer 1

分析 利用橢圓與雙曲線的定義列出方程，通過勾股定理求解離心率即可．

解答 解：由橢圓與雙曲線的定義，知|MF₁|+|MF₂|=2a₁，|MF₁|-|MF₂|=2a₂，
所以|MF₁|=a₁+a₂，|MF₂|=a₁-a₂．
因?yàn)椤螰₁MF₂=90°，
所以|MF₁|²+|MF₂|²=4c²，即a₁²+a₂²=2c²，即（$\frac{1}{{e}_{1}}$）²+（$\frac{1}{{e}_{2}}$）²=2，
橢圓的離心率e₁∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]，
所以$（\frac{1}{{e}_{1}}）^{2}$∈[$\frac{9}{8}$，$\frac{16}{9}$]，則（$\frac{1}{{e}_{2}}$）²∈[$\frac{2}{9}$，$\frac{7}{8}$]．
所以e₂∈$[\frac{2\sqrt{14}}{7}，\frac{3\sqrt{2}}{2}]$．
故答案為：$[\frac{2\sqrt{14}}{7}，\frac{3\sqrt{2}}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．