Question

設(shè)拋物線C₁：x²=4y的焦點為F，曲線C₂與C₁關(guān)于原點對稱，過曲線C₂上任意一點P作C₁的兩條切線PA、PB，切點為A、B，證明：線段AB的中點M的坐標滿足曲線方程y=

3

4

x²．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設(shè)求出C₂方程，由點差法求出AB的斜率k=

x

2

，設(shè)P（x₀，y₀），則由切點弦方程知y=

x0

2

x-y0，由此能證明線段AB的中點M的坐標滿足曲線方程y=

3

4

x²．

解答： 證明：∵曲線C₁與C₂關(guān)于原點對稱，又C₁的方程x²=4y，
∴C₂方程為x²=-4y，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（x，y），
則x₁+x₂=2x，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入C₁的方程x²=4y，
得：

x12=4y1 x22=4y2

，相減，得：
（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂），
∴2x（x₁-x₂）=4（y₁-y₂），
∴AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

x

2

，
∵過曲線C₂上任意一點P作C₁：x²=4y的兩條切線PA、PB，切點為A、B，
設(shè)P（x₀，y₀），則由切點弦方程知y=

x0

2

x-y0，
∴x₀=x，y₀=

1

2

x2-y，
∵P（x₀，y₀）是C₂：x²=-4y上的點，
∴x2=-4(

1

2

x2-y)，
整理，得y=

3

4

x²．
∴線段AB的中點M的坐標滿足曲線方程y=

3

4

x²．

點評：本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系、對稱等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．