【題目】動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比它到直線的距離小1，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作曲線的切線，且二者相交于點(diǎn).

（1）求曲線的方程；

（2）求證：；

（3）求 的面積的最小值.

【答案】(Ⅰ)．(Ⅱ) 見(jiàn)解析；(Ⅲ)4．

【解析】

試題分析:（1）根據(jù)拋物線定義確定曲線的方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，解方程組可得交點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用向量數(shù)量積為零證明結(jié)論（3）三角形高為，根據(jù)拋物線定義求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式得關(guān)于斜率函數(shù)關(guān)系式，最后解函數(shù)最值得結(jié)論

試題解析：(Ⅰ)解：由已知，動(dòng)點(diǎn)P在直線上方，條件可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0，1)的距離等于它到直線距離

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F(0，1)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線

故其方程為．

(Ⅱ)證：設(shè)直線AB的方程為：

由得：

設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，則

由得：，∴

∴直線AM的方程為：�、�

直線BM的方程為：　②

①－②得：，即

將代入①得：

∴

故∴

∴

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，點(diǎn)M到AB的距離

∵

∴

∴當(dāng)k = 0時(shí)，△ABM的面積有最小值4．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)，處切線的斜率分別是，規(guī)定（為線段的長(zhǎng)度）叫做曲線在點(diǎn)與之間的“平方彎曲度”，給出以下命題：

①函數(shù)圖象上兩點(diǎn)與的橫坐標(biāo)分別為1和2，則；

②存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“平方彎曲度”為常數(shù)；

③設(shè)點(diǎn)，是拋物線上不同的兩點(diǎn)，則；

④設(shè)曲線（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上不同兩點(diǎn)，，且，則的最大值為.

其中真命題的序號(hào)為__________（將所有真命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（，且）.

（1）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，設(shè) ，是的導(dǎo)函數(shù)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上無(wú)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為

(1)寫(xiě)出曲線的普通方程;

(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖一，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且該四棱錐的俯視圖和側(cè)視圖如圖二所示.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中將底面為直角三角形的直棱柱稱為塹堵，將底面為矩形的棱臺(tái)稱為芻童.在如圖所示的塹堵與芻童的組合體中,． 臺(tái)體體積公式： ， 其中分別為臺(tái)體上、下底面面積， 為臺(tái)體高.

（1）證明：直線 平面；

（2）若,， ，三棱錐的體積，求 該組合體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若是橢圓的左頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，求與的面積之差的絕對(duì)值的最大值.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我校為豐富師生課余活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直角三角形的空地上修建一個(gè)占地面積為（平方米）的矩形健身場(chǎng)地，如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且點(diǎn)在斜邊上，已知， 米， 米， .設(shè)矩形健身場(chǎng)地每平方米的造價(jià)為元，再把矩形以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價(jià)為元（為正常數(shù)）

（1）試用表示，并求的取值范圍；

（2）求總造價(jià)關(guān)于面積的函數(shù);

（3）如何選取，使總造價(jià)最低（不要求求出最低造價(jià)）

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