Question

【題目】已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，焦距為2c，且c， ，2成等比數(shù)列．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)點(diǎn)B坐標(biāo)為(0， )，問是否存在過點(diǎn)B的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且滿足 (O為坐標(biāo)原點(diǎn))？若存在，求出此時(shí)直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ＋y2＝1(Ⅱ)y＝x＋或y＝－x＋.

【解析】試題分析：(Ⅰ)根據(jù)題意可以知道: ()2＝2·c ,橢圓的離心率可得a＝,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;

(Ⅱ)設(shè)直線MN的方程,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求得k的值,直線l的方程.

試題解析：(Ⅰ)( )2＝2·c，解得c＝1.

又e′＝＝，及a2＝b2＋c2，解得a＝，b＝1.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.

(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)B(0， )．

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；

故直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y－＝kx，即y＝kx＋.

聯(lián)立方程組消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＋2＝0.

顯然Δ＝(4k)2－4(1＋2k2)×2>0，

解得k>或k<－.(*)

設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，

則x1＋x2＝，x1x2＝.

由，得＝0，則x1x2＋y1y2＝0.

即＋(kx1＋)(kx2＋)＝0，得＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝0，

得＋k2·＋k＋2＝0，

化簡(jiǎn)得＝0，解得k＝±.符合(*)式，

此時(shí)直線l的方程為y＝x＋或y＝－x＋.

故存在過點(diǎn)B的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且滿足，

此時(shí)直線l的方程為y＝x＋或y＝－x＋.