Question

18．某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在E處按$\overrightarrow{EP}$方向釋放機(jī)器人甲，同時在A處按某方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在Q處成功攔截機(jī)器人甲．若點(diǎn)Q在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失�。�
已知AB=18米，E為AB中點(diǎn)，機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍，比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線運(yùn)動方式行進(jìn)，記$\overrightarrow{EP}$與$\overrightarrow{EB}$的夾角為θ．
（1）若θ=60°，AD足夠長，則如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功？（結(jié)果精確到0.1°）
（2）如何設(shè)計矩形區(qū)域ABCD的寬AD的長度，才能確保無論θ的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲？

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，即可求解；
（2）以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸，建平面直角坐標(biāo)系，求出Q的軌跡方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）△AEQ中，AQ=2EQ，∠AEQ=120°…（2分）
由正弦定理，得：$\frac{EQ}{sin∠QAE}=\frac{AQ}{sin∠AEQ}$
所以$sin∠QAE=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…（4分）
所以$∠QAE=arcsin\frac{{\sqrt{3}}}{4}≈25.7°$
所以應(yīng)在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)，按照與$\overrightarrow{AB}$夾角為25.7°的向量$\overrightarrow{AQ}$方向釋放機(jī)器人乙，才能挑戰(zhàn)成功…（6分）
（2）以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸，建平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)Q（x，y）（y≥0）…（8分）
由題意，知AQ=2EQ，所以$\sqrt{{{（x+9）}^2}+{y^2}}=2\sqrt{{x^2}+{y^2}}$
所以（x-3）²+y²=36（y≥0）…（11分）
即點(diǎn)Q的軌跡是以（3，0）為圓心，6為半徑的上半圓在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)的部分
所以當(dāng)AD≥6米時，能確保無論θ的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲…（14分）

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．