15.(1)已知cos(α+β)=-$\frac{3}{5}$,cos(α-β)=$\frac{1}{5}$,求tanα•tanβ的值.(α≠kπ+$\frac{π}{2}$,β≠kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z)
(2)在銳角△ABC中,且sin(A+B)=$\frac{3}{5}$,tanA=2tanB,AB=3,求△ABC的面積.

分析 (1)根據(jù)兩角和差的余弦公式即可得到$\left\{\begin{array}{l}{cosαcosβ-sinαsinβ=-\frac{3}{5}}\\{cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$,從而可解出sinαsinβ和cosαcosβ的值,從而求出tanα•tanβ的值;
(2)根據(jù)條件可以求出$tan(A+B)=-\frac{3}{4}$,從而$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=-\frac{3}{4}$,結(jié)合tanA=2tanB即可求出$tanA=2+\sqrt{6},tanB=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$,這樣設(shè)AB邊上的高為CD,從而由$AB=\frac{CD}{tanA}+\frac{CD}{tanB}$及AB=3即可求出CD的值,從而得出△ABC的面積.

解答 解:(1)$cos(α+β)=-\frac{3}{5}$,$cos(α-β)=\frac{1}{5}$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosαcosβ-sinαsinβ=-\frac{3}{5}}\\{cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinαsinβ=\frac{2}{5}}\\{cosαcosβ=-\frac{1}{5}}\end{array}\right.$;
∴tanαtanβ=-2;
(2)△ABC為銳角三角形;
∴$\frac{π}{2}<A+B<π$,$sin(A+B)=\frac{3}{5}$;
∴$cos(A+B)=-\frac{4}{5}$;
∴$tan(A+B)=-\frac{3}{4}$;
∴$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=-\frac{3}{4}$,且tanA=2tanB;
∴$\frac{2tanB+tanB}{1-2ta{n}^{2}B}=-\frac{3}{4}$,整理得:2tan2B-4tanB-1=0;
解得$tanB=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$或$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$(舍去),則$tanA=2+\sqrt{6}$,
如圖,設(shè)AB邊上的高為CD,則:
$AB=AD+DB=\frac{CD}{tanA}+\frac{CD}{tanB}=\frac{3CD}{2+\sqrt{6}}$,且AB=3;
∴$CD=2+\sqrt{6}$;
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×(2+\sqrt{6})=\frac{6+3\sqrt{6}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 考查兩角和差的余弦和正切公式,弦化切公式,一元二次方程的解法,以及正切函數(shù)的定義,三角形面積公式.

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