10.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,定點(diǎn)P(3,4)到焦點(diǎn)F的距離為2$\sqrt{5}$且線段PF與拋物線C有公共點(diǎn),過點(diǎn)P的動(dòng)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,且滿足k1+k2=4,若l1交拋物線C于A,B兩點(diǎn),l2交拋物線C于D,E兩點(diǎn),弦AB,DE的中點(diǎn)分別為M,N.
(1)求拋物線C的方程;
(2)求證:直線MN過定點(diǎn)Q,并求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)若4$\overrightarrow{QM}$=$\overrightarrow{QN}$,求出直線MN的方程.

分析 (1)由題意,F(xiàn)($\frac{p}{2}$,0),則$(3-\frac{p}{2})^{2}+{4}^{2}=(2\sqrt{5})^{2}$,求出p,驗(yàn)證,即可求拋物線C的方程;
(2)求出M,N的坐標(biāo),可得直線方程,即可證明直線MN過定點(diǎn)Q,并求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)若4$\overrightarrow{QM}$=$\overrightarrow{QN}$,求出斜率,即可求出直線MN的方程.

解答 (1)解:由題意,F(xiàn)($\frac{p}{2}$,0),則$(3-\frac{p}{2})^{2}+{4}^{2}=(2\sqrt{5})^{2}$,
∴p2-12p+20=0,
∴p=2或p=10.
p=10時(shí),定點(diǎn)P(3,4)在拋物線內(nèi),舍去,
p=2時(shí),定點(diǎn)P(3,4)在拋物線外,
∴拋物線方程為y2=4x;
(2)證明:將l1:y-4=k1(x-3)代入拋物線方程,消去x,可得k1y2-4y+16-12k1=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=$\frac{4}{{k}_{1}}$,y1y2=$\frac{16-12{k}_{1}}{{k}_{1}}$.
△=16(3k1-1)(k1-1)>0,得k1>1或k1<$\frac{1}{3}$,M($\frac{2}{{k}_{1}}-\frac{4}{{k}_{1}}$+3,$\frac{2}{{k}_{1}}$).
同理可得N($\frac{2}{(4-{k}_{1})^{2}}$-$\frac{4}{4-{k}_{1}}$+3,$\frac{2}{4-{k}_{1}}$).
∴kMN=$\frac{{k}_{1}(4-{k}_{1})}{4-2{k}_{1}(4-{k}_{1})}$,
∴直線MN的方程為y-$\frac{2}{{k}_{1}}$=$\frac{{k}_{1}(4-{k}_{1})}{4-2{k}_{1}(4-{k}_{1})}$[x-($\frac{2}{{k}_{1}}-\frac{4}{{k}_{1}}$+3)]
即$({{k}_{1}}^{3}-4{{k}_{1}}^{2})$(x+2y-3)+k1(4y-2)=0,
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3=0}\\{4y-2=0}\end{array}\right.$得x=2,y=$\frac{1}{2}$,
∴直線MN過定點(diǎn)Q(2,$\frac{1}{2}$);
(3)解:由(2),4$\overrightarrow{QM}$=$\overrightarrow{QN}$,可得4$(\frac{2}{{k}_{1}}-\frac{1}{2})$=$\frac{2}{4-{k}_{1}}$-$\frac{1}{2}$,
∴$3{{k}_{1}}^{2}-32{k}_{1}$+64=0,∴k1=8或${k}_{1}=\frac{8}{3}$
∴k=-$\frac{8}{17}$或-$\frac{8}{7}$,
∴直線MN的方程為16x+34y-49=0或16x+14y-39=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì),考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,屬于中檔題.

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(1)求拋物線C的方程;
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