4.國慶期間,我校高三(1)班舉行了社會主義核心價(jià)值觀知識競賽,某輪比賽中,要求參賽者回答全部5道題,每一道題回答正確記1分,否則記-1分.據(jù)以往統(tǒng)計(jì),甲同學(xué)能答對每一道題的概率均為$\frac{2}{3}$.甲同學(xué)全部回答完這5道題后記他的得分為X
(1)求X=1的概率;
(2)記隨機(jī)變量Y=|X|,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析 (1)由題意利用n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式能求出X=1的概率.
(2)記隨機(jī)變量Y=|X|,則Y的取值為1,3,5,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解答 解:(1)由題意知X=1的概率P=${C}_{5}^{3}(\frac{2}{3})^{3}(\frac{1}{3})^{2}$=$\frac{80}{243}$.
(2)記隨機(jī)變量Y=|X|,則Y的取值為1,3,5,
P(Y=1)=${C}_{5}^{3}(\frac{2}{3})^{3}(\frac{1}{3})^{2}$+${C}_{5}^{2}(\frac{2}{3})^{2}(\frac{1}{3})^{3}$=$\frac{40}{81}$,
P(Y=3)=${C}_{5}^{4}(\frac{2}{3})^{4}(\frac{1}{3})+{C}_{5}^{1}(\frac{2}{3})(\frac{1}{3})^{4}$=$\frac{30}{81}$,
P(Y=5)=$\frac{11}{81}$,
Y的分布列為:

Y135
p$\frac{40}{81}$$\frac{30}{81}$$\frac{11}{81}$
EY=$1×\frac{40}{81}+3×\frac{30}{81}+5×\frac{11}{81}$=$\frac{185}{81}$.

點(diǎn)評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用.

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