Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，將直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點P在曲線C上，求點P到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)P（2cosθ，sinθ），利用點到直線的距離公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）=\sqrt{2}$，直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0；
（Ⅱ）設(shè)P（2cosθ，sinθ），
則點P到直線l距離d=$\frac{|2cosθ+sinθ-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ+α）-2|}{\sqrt{2}}$．
∴點P到直線l距離的最大值為$\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．