Question

7．已知A（-1，0），B（1，0），$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{AC}$|=4
（1）求P的軌跡E
（2）過軌跡E上任意一點P作圓O：x²+y²=3的切線l₁，l₂，設(shè)直線OP，l₁，l₂的斜率分別是k₀，k₁，k₂，試問在三個斜率都存在且不為0的條件下，$\frac{1}{{k}_{0}}$（$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$）是否是定值，請說明理由，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用|$\overrightarrow{BP}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，由|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{AC}$|=4，得，|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{BP}$|=4，即可求P的軌跡E；
（2）所以由韋達(dá)定理：k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，兩式相除：$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-3}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖因為$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，所以四邊形ACPB是平行四邊形，
所以|$\overrightarrow{BP}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，
由|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{AC}$|=4，得，|$\overrightarrow{AP}$|+|$\overrightarrow{BP}$|=4，
所以P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
所以方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），過P的斜率為k的直線為y-y₀=k（x-x₀），
由直線與圓O相切可得$\frac{|y-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，即：$（{{x}_{0}}^{2}-3）{k}^{2}-2{x}_{0}{y}_{0}k+{{y}_{0}}^{2}-3=0$，
由已知可知k₁，k₂是方程$（{{x}_{0}}^{2}-3）{k}^{2}-2{x}_{0}{y}_{0}k+{{y}_{0}}^{2}-3=0$的兩個根，
所以由韋達(dá)定理：k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，
兩式相除：$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-3}$，
又因為${{y}_{0}}^{2}-3$=-$\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}$，
代入上式可得，$\frac{1}{{k}_{0}}$（$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$）=-$\frac{8}{3}$為一個定值．

點評 本題考查向量知識的運用，考查橢圓的定義，考查直線與圓位置關(guān)系的運用，考查韋達(dá)定理，屬于中檔題．