Question

5．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAC=30°，∠CAB=45°，CD=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求AD的長；
（Ⅱ）若BC=$\sqrt{10}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可求∠DCA=∠CAB=45°，進而利用正弦定理可求AD的值．
（Ⅱ）利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin∠ADC，利用正弦定理可求AC，由余弦定理可求AB，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）因為AB∥CD，
所以∠DCA=∠CAB=45°，…（1分）
因為$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{DC}{sin∠DAC}$，…（2分）
所以AD=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）×sin45°}{sin30°}$=2$\sqrt{3}$-2． …（4分）
（Ⅱ）∠ADC=180°-（30°+45°）=105°，
所以，sin∠ADC=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，…（5分）
因為$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{DC}{sin∠DAC}$，
所以AC=2，…（7分）
設AB=x，
因為，BC²=AC²+AB²-2AC•ABcos∠CAB，
可得：x²-2$\sqrt{2}$x-6=0，
所以，AB=3$\sqrt{2}$，…．（10分）
所以，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•ABsin∠CAB=3． …（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)、解三角形等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題．