Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[0，3]上有最大值5和最小值1．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，3]使得方程|f（x）-2x|=t²-2t-8有解，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，若$g（{2^x}）+k•\frac{2}{2^x}-k≥0$在x∈[1，2]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的對稱軸方程，可得f（x）在[0，1]遞減，在[1，3]上遞增，即可得到最值，解方程可得a，b的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)|f（x）-2x|的值域，即可得到關(guān)于t的不等式組，解得即可，
（Ⅲ）設(shè)2^x=m，則m∈[2，4]，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ax²-2ax+1+b=a（x-1）²+1+b-a，
∵a＞0，開口向上，對稱軸x=1，
∴f（x）在[0，1]遞減，在[1，3]上遞增，
∴f（x）_min=f（1）=a-2a+1+b=1，f（x）_max=f（3）=9a-6a+1+b=5，
∴a=1，b=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x²-2x+2，
∴f（x）-2x=x²-4x+2=（x-2）²-2，
對稱軸x=2，
∴f（x）-2x在[-1，2]遞減，在[2，3]上遞增，
∴最小值為-2，最大值為7，
∴|f（x）-2x|∈[0，7]，
∵方程|f（x）-2x|=t²-2t-8有解，
∴0≤t²-2t-8≤7，
解得-3≤t≤-2或4≤t≤5，
故t的范圍為[-3，-2]∪[4，5]，
（Ⅲ）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-2，
設(shè)2^x=m，
∵x∈[1，2]，
∴m∈[2，4]，
∵$g（{2^x}）+k•\frac{2}{2^x}-k≥0$在x∈[1，2]上恒成立，
∴m+$\frac{2k}{m}$-k≥0．在m∈[2，4]上恒成立，
∴當(dāng)m=2時，2≥0恒成立，
當(dāng)m≠2時，k≤$\frac{{m}^{2}}{m-2}$，
設(shè)h（m）=$\frac{{m}^{2}}{m-2}$
∴h′（m）=$\frac{m（m-4）}{（m-2）^{2}}$≤0，在[2，4]上恒成立，
∴h（m）在[2，4]上單調(diào)遞減，
∴h（m）_min=h（4）=8，
∴k≤8

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及參數(shù)的取值范圍和恒成立的問題，屬于中檔題