Question

13．設(shè)y=f（x）是二次函數(shù)，方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′（x）=2x+4．
（1）求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）求直線y=2x+4與y=f（x）所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，根據(jù)f′（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，△=0，求得c的值，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）先由解方程組求出積分區(qū)間，再通過(guò)求定積分求出即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，又因?yàn)?f′（x）=2x+4，
∴a=1，b=4，
∴f（x）=x²+4x+c．
由于方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴△=16-4c=0，解得 c=4，∴f（x）=x²+4x+4．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+4x+4}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$，解得x=-2或x=0，
即直線y=2x+4與y=f（x）所圍成的圖形的面積S=${∫}_{-2}^{0}$[2x+4-（x²+4x+4）]dx
=${∫}_{-2}^{0}$（-x²-2x）dx=（-$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x²）|${\;}_{-2}^{0}$=-（-$\frac{8}{3}$-4）=$\frac{20}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，定積分的應(yīng)用，屬于中檔題．