Question

3．已知cos（π-α）=$\frac{4}{5}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π），求下列各式的值．
（1）tan（α-$\frac{π}{4}$）；
（2）$\frac{1}{sin（\frac{π}{2}-2α）}$+tan 2α．

Answer 1

分析 （1）由已知利用誘導(dǎo)公式可求cosα，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，tanα，利用兩角差的正切函數(shù)公式即可計算得解．
（2）解法一：由已知利用二倍角公式可求cos2α，tan2α的值，進而利用誘導(dǎo)公式即可計算得解．解法二：利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得$\frac{1}{sin（\frac{π}{2}-2α）}$+tan 2α=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$，結(jié)合tan α=-$\frac{3}{4}$，即可求值得解．

解答 解：（1）因為cos（π-α）=-cos α=$\frac{4}{5}$，則cosα=-$\frac{4}{5}$．（2分）
又α∈（$\frac{π}{2}$，π），則sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，tan α=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$（4分）
所以tan（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=$\frac{-\frac{3}{4}-1}{1-\frac{3}{4}}$=-7．（6分）
（2）解法一：因為cos α=-$\frac{4}{5}$，
則cos2α=2cos²α-1=$\frac{32}{25}$-1=$\frac{7}{25}$．（8分）
因為tan α=-$\frac{3}{4}$，
則tan2α=$\frac{2tanα}{1-tan2α}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}$=-$\frac{24}{7}$．（10分）
所以$\frac{1}{sin（\frac{π}{2}-2α）}$+tan2α=$\frac{1}{cos2α}$+tan2α=$\frac{25}{7}$-$\frac{24}{7}$=$\frac{1}{7}$．（12分）
解法二：$\frac{1}{sin（\frac{π}{2}-2α）}$+tan2α=$\frac{1}{cos2α}$+$\frac{sin2α}{cos2α}$=$\frac{1+sin2α}{cos2α}$（8分）
=$\frac{（cosα-sinα）^{2}}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}$=$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$．（10分）
因為tan α=-$\frac{3}{4}$，
則$\frac{1}{sin（\frac{π}{2}-2α）}$+tan2α=$\frac{1-\frac{3}{4}}{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{7}$．（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．