Question

15．已知△ABC中，tanA，tanB是方程x²+ax+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根：
（1）若a=-8，求tanC的值；
（2）求tanC的最小值，并指出此時(shí)對應(yīng)的tanA，tanB的值．

Answer 1

分析 （1）由根與系數(shù)的關(guān)系寫出tanA+tanB=8，tanAtanB=4；利用三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正切公式計(jì)算即可；
（2）由△≥0以及根與系數(shù)的關(guān)系，求出a≤-4；再利用三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正切公式，求出tanC的最小值以及此時(shí)對應(yīng)的tanA、tanB的值．

解答 解：（1）a=8時(shí)，x²-8x+4=0，
∴tanA+tanB=8，tanAtanB=4；
∴tanC=tan[π-（A+B）]
=-tan（A+B）
=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$
=$\frac{8}{3}$：
（2）由題意，△=a²-16≥0，
解得a≥4或a≤-4；
又tanAtanB=4＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{tanA＞0}\\{tanB＞0}\end{array}\right.$，
∴tanA+tanB=-a＞0，
∴a＜0，
即a≤-4；
∴tanC=-tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$=$\frac{-a}{3}$≥$\frac{4}{3}$，
∴tanC的最小值是$\frac{4}{3}$，此時(shí)對應(yīng)的tanA=tanB=2．

點(diǎn)評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正切公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．