Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+sin（\frac{π}{4}+x）sin（\frac{π}{4}-x）$．
（ I）求函數(shù)f（x）對(duì)稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間；
（ II）對(duì)任意$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$，f（x）-m≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）化簡(jiǎn)函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)f（x）對(duì)稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）對(duì)任意$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$，f（x）-m≥0恒成立，f（x）-m≥0恒成立等價(jià)于m≤f（x）_min，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（I）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}•（cosx+sinx）\frac{{\sqrt{2}}}{2}•（cosx-sinx）$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}（{cos^2}x-{sin^2}x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x+\frac{π}{6}）$（3分）
由$2x+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}⇒x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}⇒kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
所以對(duì)稱軸是$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$，單調(diào)增區(qū)間是$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$．（6分）
（II）由$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$得$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，從而$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，（11分）
f（x）-m≥0恒成立等價(jià)于m≤f（x）_min，∴$m≤-\frac{1}{2}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．