4.橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,焦距為2,且與橢圓x2+$\frac{y^2}{2}$=1有相同離心率,直線l:y=kx+m與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若在橢圓C上存在點(diǎn)Q,滿足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OQ}$,(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)λ取值范圍.

分析 (Ⅰ)利用已知條件列出橢圓幾何量的方程組,求解a,b,即可求橢圓C的方程;
(Ⅱ)聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理,結(jié)合向量關(guān)系,推出結(jié)果即可.

解答 解:( I)由已知可$\left\{{\begin{array}{l}{2c=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{c=1}\end{array}}\right.$,∴b=1.
所求橢圓C的方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$.         …(4分)
( II)由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
∴△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(1+2k2-m2).
由直線直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn),有△>0,∴1+2k2>m2.   ①
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}}\\{x{\;}_1{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}\end{array}}\right.$
于是${y_1}+{y_2}=k({x_1}+{x_2})+2m=\frac{2m}{{1+2{k^2}}}$.                   …(8分)
當(dāng)m=0時(shí),易知點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則λ=0;
當(dāng)m≠0時(shí),易知點(diǎn)A,B不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則λ≠0.
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OQ}$,得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_Q}=\frac{1}{λ}({x_1}+{x_2})}\\{{y_Q}=\frac{1}{λ}({y_1}+{y_2})}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_Q}=\frac{-4km}{{λ(1+2{k^2})}}}\\{{y_Q}=\frac{2m}{{λ(1+2{k^2})}}}\end{array}}\right.$.
∵Q點(diǎn)在橢圓上,∴${[\frac{-4km}{{λ(1+2{k^2})}}]^2}+2{[\frac{2m}{{λ(1+2{k^2})}}]^2}=2$.
化簡(jiǎn)得4m2(1+2k2)=λ2(1+2k22
∵1+2k2≠0,∴4m22(1+2k2).   ②
由①②兩式可得λ2<4,∴-2<λ<2且λ≠0.
綜上可得實(shí)數(shù)λ的取值范圍是-2<λ<2.                  …(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及圓錐曲線的范圍問題的解法,考查分析問題解決問題以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知集合,,則( )

A. B.

C. D.

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下列結(jié)論判斷正確的是( )

A.任意兩條直線確定一個(gè)平面

B.三條平行直線最多確定三個(gè)平面

C.棱長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)切球的表面積為

D.若平面平面,平面平面,則平面平面

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若不等式表示的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2018010106043217185696/SYS201801010604367032667856_ST/SYS201801010604367032667856_ST.002.png">,均為內(nèi)一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),,則下列判斷正確的是( )

A.的最小值為 B.的最小值為

C.的最大值為 D.的最大值為

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設(shè)集合,,則等于( )

A. B.

C. D.

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9.如圖,已知圓柱OO′的底面半徑為12,與底面成β角(其中cosβ=$\frac{12}{13}$,sinβ=$\frac{5}{13}$)的截面α截圓柱所得的平面圖形為橢圓,已知球C1,C2分別與圓柱的側(cè)面、底面相切,與截面α相切于點(diǎn)M、N,在圓柱OO′的體積為( 。
A.7500πB.7200πC.7800πD.8100π

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16.等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2,項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)之和為$\frac{85}{32}$,偶數(shù)項(xiàng)之和為$\frac{21}{16}$,這個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)的積為Tn(n≥2),則Tn的最大值為( 。
A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.2

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13.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+ax2+2bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且-1<x1<1<x2<2,則直線bx-(a-1)y+3=0的斜率的取值范圍$(-\frac{2}{5},\frac{2}{3})$.

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12.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上,且 cosA=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$,BC=1,AC=3,且球O的表面積為16π,則三棱錐O-ABC的體積為(  )
A.$\frac{{\sqrt{15}}}{6}$B.$\frac{{\sqrt{14}}}{6}$C.$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$D.$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

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