Question

12．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，且 cosA=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，BC=1，AC=3，且球O的表面積為16π，則三棱錐O-ABC的體積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{14}}}{6}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 由正弦定理得sinB=1，B=90°．斜邊AC的中點(diǎn)就是△ABC的外接圓的圓心，求出三棱錐O-ABC的高h(yuǎn)=$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{AC}{2}）^{2}}$，由此能求出三棱錐O-ABC的體積．

解答 解：△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，
且 cosA=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，BC=1，AC=3，
∴sin²A=1-cos²A=$\frac{1}{9}$，sinA=$\frac{1}{3}$，
由正弦定理可知：$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，
∴sinB=1，B=90°．斜邊AC的中點(diǎn)就是△ABC的外接圓的圓心，
∵球O的表面積為16π，∴球半徑R=2，
又AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
三棱錐O-ABC的高h(yuǎn)=$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{AC}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴三棱錐O-ABC的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h$=$\frac{1}{3}×AB×BC×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{7}}{2}$=$\frac{\sqrt{14}}{6}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理、球的性質(zhì)的合理運(yùn)用．