Question

9．如圖，已知圓柱OO′的底面半徑為12，與底面成β角（其中cosβ=$\frac{12}{13}$，sinβ=$\frac{5}{13}$）的截面α截圓柱所得的平面圖形為橢圓，已知球C₁，C₂分別與圓柱的側(cè)面、底面相切，與截面α相切于點(diǎn)M、N，在圓柱OO′的體積為（　�。�

• A． 7500π
• B． 7200π
• C． 7800π
• D． 8100π

Answer 1

分析 根據(jù)地面半徑和截面與底面的夾角計(jì)算橢圓的長(zhǎng)短軸，從而求出圓柱的高，代入圓柱的體積公式即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c，
設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸一端點(diǎn)為A，球C₂與A所在的母線的切點(diǎn)為B，C₂N，C₂A，C₂B，
則$\left\{\begin{array}{l}{2acosβ=24}\\{2b=24}\end{array}\right.$，∴a=13，b=12，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=5，
∴AN=a-c=8．
∵Rt△ANC₂∽R(shí)t△ABC₂，
∴AB=AN=8，
∴圓柱的高OO′=2×（12+8）+2asinβ=50．
∴圓柱的體積V=π×12²×50=7200π．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓柱的體積計(jì)算，計(jì)算橢圓的長(zhǎng)短軸是解題關(guān)鍵．