Question

【題目】已知函數(shù) ，m∈R．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間（﹣2，3）上是減函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)m=1時(shí)， ，

又f'（x）=x2+2x﹣3，所以f'（2）=5．

又 ，

所以所求切線方程為 ，即15x﹣3y﹣25=0．

所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為15x﹣3y﹣25=0

（2）解：因?yàn)閒'（x）=x2+2mx﹣3m2，

令f'（x）=0，得x=﹣3m或x=m．

當(dāng)m=0時(shí)，f'（x）=x2≥0恒成立，不符合題意．

當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣3m，m），若f（x）在區(qū)間（﹣2，3）上是減函數(shù)，

則 解得m≥3．

當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（m，﹣3m），若f（x）在區(qū)間（﹣2，3）上是減函數(shù)，

則 ，解得m≤﹣2．

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥3或m≤﹣2

【解析】（1）把m=1代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因?yàn)榍�線的切點(diǎn)為（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)和斜率寫出切線方程即可；（2）已知f（x）在區(qū)間（﹣2，3）上是減函數(shù)，即f′（x）≤0在區(qū)間（﹣2，3）上恒成立，然后用導(dǎo)數(shù)求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，再對(duì)m進(jìn)行分類討論建立關(guān)于m的不等關(guān)系解之即可得到m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．