Question

9．已知數(shù)列{a_n}是各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列，公差d∈N^*，且{a_n}中任意兩項之和也是該數(shù)列中的一項．若${a_1}={6^m}$，其中m為給定的正整數(shù)，則d的所有可能取值的和為$\frac{1}{2}（{{2^{m+1}}-1}）（{{3^{m+1}}-1}）$．

Answer 1

分析 由公差d是${a}_{1}={6}^{m}$的約數(shù)，得到d=2ⁱ•3^j，（i，j=0，1，2，…，m），由此能求出d的所有可能取值之和．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列，公差d∈N^*，且{a_n}中任意兩項之和也是該數(shù)列中的一項，
∴公差d是${a}_{1}={6}^{m}$的約數(shù)，
∴d=2ⁱ•3^j，（i，j=0，1，2，…，m），
∴d的所有可能取值之和為：
$\sum_{i=0}^{m}{2}^{i}•\sum_{j=0}^{m}{3}^{j}$=$\frac{1}{2}（{{2^{m+1}}-1}）（{{3^{m+1}}-1}）$．
故答案為：$\frac{1}{2}（{{2^{m+1}}-1}）（{{3^{m+1}}-1}）$．

點評 本題考查等差數(shù)列的公差的所有可能取值之和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質的合理運用．