Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{3}$+y²=1，已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問(wèn)：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，假設(shè)以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)，則CE⊥DE，將它們聯(lián)立消去x₁，x₂即可得出k的值．

解答 解：假若存在這樣的k值，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+3{y^2}-3=0\end{array}\right.$得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�
設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{12k}{{1+3{k^2}}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{9}{{1+3{k^2}}}\end{array}\right.$②
而${y_1}•{y_2}=（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）={k^2}{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4$．
要使以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)，則$\frac{y_1}{{{x_1}+1}}•\frac{y_2}{{{x_2}+1}}=-1$，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0．
∴（k²+1）x₁x₂+2（k+1）（x₁+x₂）+5=0．　　　　　　　　　　　　　　　③
將②式代入③整理解得$k=\frac{7}{6}$．經(jīng)驗(yàn)證，$k=\frac{7}{6}$，使①成立．
綜上可知，存在$k=\frac{7}{6}$，使得以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解．