Question

5．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經BC，CA發(fā)射后又回到原點P（如圖）．若光線QR經過△ABC的重心，則AP等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 建立坐標系，利用光的反射與軸對稱的性質確定QR的所在直線斜率k，根據重心坐標公式求出重心G，代入k=k_RG即可求解．

解答 解：建立如圖所示的直角坐標系，
可得B（2，0），C（0，2）
∴BC的方程為x+y-2=0，△ABC的重心G為（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
設M，N分別是點P關于直線BC和y軸的對稱點，設點P（a，0）
則M（2，2-a），N（-a，0），
由光的反射原理可知，M，Q，R，N四點共線，
∴k_MN=k_NG
即$\frac{2-a}{2+a}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+a}$，解得a=$\frac{2}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查三角形的性質，和軸對稱圖形靈活應用，屬于中檔題．