分析 (1)根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程與M在拋物線上,列出方程組求出p的值即得拋物線方程;
(2)根據(jù)直線EA與圓錐曲線相切,用直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,△=0,根據(jù)圓的對(duì)稱性,寫(xiě)出直線AB的方程;
思路1:利用直線AB的斜率、直線AB的方程,判斷直線AB恒過(guò)定點(diǎn);
思路2:根據(jù)三點(diǎn)共線以及直線的斜率,判斷直線AB過(guò)定點(diǎn)F.
解答 解:(1)拋物線C的準(zhǔn)線方程為:$x=-\frac{p}{2}$,
∴$|MF|=m+\frac{p}{2}=2$,
又M在拋物線上,
即$4=2p(2-\frac{p}{2})$,----------(2分)
∴p2-4p+4=0,
解得p=2;
所以拋物線C的方程為y2=4x;------------(4分)
(2)設(shè)點(diǎn)E(0,t)(t≠0),
由已知切線不為y軸,設(shè)EA:y=kx+t,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+t\\{y^2}=4x\end{array}\right.$,消去y,
可得k2x2+(2kt-4)x+t2=0;
直線EA與拋物線C相切,
∴△=(2kt-4)2-4k2t2=0,
即kt=1代入$\frac{1}{t^2}{x^2}-2x+{t^2}=0$,
∴x=t2,即A(t2,2t);--------------(6分)
設(shè)切點(diǎn)B(x0,y0),則由幾何性質(zhì)可以判斷點(diǎn)O,B關(guān)于直線EF:y=-tx+t對(duì)稱,
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{y_0}{x_0}×\frac{t-0}{0-1}=-1\\ \frac{y_0}{2}=-t•\frac{x_0}{2}+t\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{{2{t^2}}}{{{t^2}+1}}\\{y_0}=\frac{2t}{{{t^2}+1}}\end{array}\right.$,
即$B(\frac{{2{t^2}}}{{{t^2}+1}},\frac{2t}{{{t^2}+1}})$;---------------(8分)
思路1:直線AB的斜率為${k_{AB}}=\frac{2t}{{{t^2}-1}}(t≠±1)$,
直線AB的方程為$y=\frac{2t}{{{t^2}-1}}(x-{t^2})+2t$,-------------(10分)
整理$y=\frac{2t}{{{t^2}-1}}(x-1)$,
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)恒過(guò)定點(diǎn)F(1,0);----------------(11分)
當(dāng)t=±1時(shí),A(1,±2),B(1,±1),此時(shí)直線AB為x=1,過(guò)點(diǎn)F(1,0);
綜上,直線AB過(guò)定點(diǎn)恒過(guò)定點(diǎn)F(1,0),----------------(12分)
思路2:直線AF的斜率為${k_{AF}}=\frac{2t}{{{t^2}-1}}(t≠±1)$,
直線BF的斜率為${k_{BF}}=\frac{{\frac{2t}{{{t^2}+1}}-0}}{{\frac{{2{t^2}}}{{{t^2}+1}}-1}}=\frac{2t}{{{t^2}-1}}(t≠±1)$,
∴kAF=kBF,即A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線;-----------------(10分)
當(dāng)t=±1時(shí),A(1,±2),B(1,±1),此時(shí)A,B,F(xiàn)共線;--------------(11分)
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)F.------------(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問(wèn)題,也考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),是綜合性題目.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | (1,+∞) | B. | [1,+∞) | C. | (0,1] | D. | (0,1) |
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