Question

8．已知（ax+1）⁵的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為243，則二項(xiàng)式${（{\frac{3x}{a}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^5}$的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為-$\frac{45}{2}$．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 首先令x=1得到a，然后寫出展開(kāi)式的通項(xiàng)，求x的系數(shù)．

解答 解：已知（ax+1）⁵的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為243，令x=1，得到（a+1）⁵=243，解得a=2，
則二項(xiàng)式${（{\frac{3x}{a}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^5}$的展開(kāi)式中通項(xiàng)為：${C}_{5}^{r}$•${（\frac{3x}{2}）}^{5-r}$•（-1）^r•${（\frac{1}{\root{3}{x}}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{5}^{r}$•${（\frac{3}{2}）}^{5-r}$•${x}^{5-\frac{4r}{3}}$，
令5-$\frac{4}{3}r$=1，得到r=3，所以含x項(xiàng)為：-$\frac{9}{4}$•${C}_{5}^{3}$•x=-$\frac{45}{2}$x，
所以x的系數(shù)為-$\frac{45}{2}$；
故答案為：-$\frac{45}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用；利用賦值法求出a，是解答的前提，利用通項(xiàng)公式求特征項(xiàng)是關(guān)鍵．