Question

13．已知${（x+1）^n}={a_0}+{a_1}（x-1）+{a_2}{（x-1）^2}+…+{a_n}{（x-1）^n}$，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及s_n=a₁+a₂+…+a_n；
（2）試比較s_n與（n-2）•2ⁿ+2n²的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過對x取1，2求出a₀及S_n ．
（2）先通過不完全歸納猜出兩者的大小，然后用數(shù)學歸納法證明．注意三歩：第一步證基礎第二步證遞推關系第三歩總結．

解答 解：（1）∵已知${（x+1）^n}={a_0}+{a_1}（x-1）+{a_2}{（x-1）^2}+…+{a_n}{（x-1）^n}$=[2+（x-1）]ⁿ，（其中n∈N^*）
${a_0}={2^n}$，∴再令x=2可得 ${s_n}={a_1}+{a_2}+…{a_n}={3^n}-{2^n}$．
（2）要比較S_n與（n-2）2ⁿ+2n²的大小，即比較：3ⁿ與（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
當n=1時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
當n=2，3時，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
當n=4，5時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
猜想：當n≥4時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，下面用數(shù)學歸納法證明：
由上述過程可知，n=4時結論成立，
假設當n=k，（k≥4）時結論成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
兩邊同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1時結論也成立，故當n≥4時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
綜上得，
當n=1時，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²；
當n=2，3時，S_n＜（n-2）2ⁿ+2n²；
當n≥4，n∈N^*時，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n² ．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的命題，屬于中檔題．