Question

【題目】已知函數(shù)，其中；

（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值，

（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，若關(guān)于的不等式，當(dāng)時(shí)恒成立，求的值.

（Ⅲ）令，若關(guān)于的方程在內(nèi)至少有兩個(gè)解，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2） (3)

【解析】分析: （Ⅰ）函數(shù)在處取得極值，當(dāng)時(shí)，，即可求實(shí)數(shù)的值，
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，整理得得，求出右邊的最小值，即可求的值；
（Ⅲ）令，構(gòu)造函數(shù)，即方程在區(qū)間上只少有兩個(gè)解，又，所以方程在區(qū)間上有解，分類討論，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．

詳解：（Ⅰ）

當(dāng)時(shí)，，解得

經(jīng)驗(yàn)證滿足條件，

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

整理得

令，

則，

所以，即

∴

（Ⅲ）

令,，構(gòu)造函數(shù)

即方程在區(qū)間上只少有兩個(gè)解

又，所以方程在區(qū)間上有解

當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上是增函數(shù)，且，

所以此時(shí)方程在區(qū)間上無(wú)解

當(dāng)時(shí)，，同上方程無(wú)解

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，且

要使方程在區(qū)間上有解，則，即

所以此時(shí)

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，且，

此時(shí)方程在內(nèi)必有解，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，且

所以方程在區(qū)間內(nèi)無(wú)解

綜上，實(shí)數(shù)的范圍是