Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
(Ⅰ)請研究函數(shù)的單調(diào)性；
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(Ⅲ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x₁、x₂總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.若函
數(shù)的最小值為，試判斷函數(shù)是否為“凹函數(shù)”，并對(duì)你的判斷加以證明.

Answer 1

解：(Ⅰ)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823185429089410.gif" style="vertical-align:middle;" />，.
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).
(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以由（1）知.此時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，有
，令，則由，
于是，在上遞減，且；在上遞減，且；
在上遞增，且.所以，，
于是，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
另解：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以由（1）知，且為極小值，根據(jù)圖像，只需要即可.
(Ⅲ)由（1）知，，其中.
對(duì)于任意的，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823185430025914.gif" style="vertical-align:middle;" />

 
=>0，所以.
因此，函數(shù)在其定義域 內(nèi)是 “凹函數(shù)”.

略