Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，∠ABC=120°，AD=CD= ，直線PC與平面ABCD所成角的正切為 ．
（1）設(shè)E為直線PC上任意一點(diǎn)，求證：AE⊥BD；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)O為線段AC的中點(diǎn)，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，從而B(niǎo)，O，D三點(diǎn)共線，即O為AC與DB的交點(diǎn)

又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD

又AC∩PA=A，所以DB⊥平面PAC

因?yàn)镋為直線PC上任意一點(diǎn)，所以AE平面PAC，所以AE⊥BD

（2）解：以 所在方向?yàn)閤軸， 所在方向?yàn)閥軸，過(guò)O作AP的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

由題意，AC=2 ，OB=1，OD=2

又PA⊥平面ABCD，故直線PC與平面ABCD所成角即為∠PCA，∴tan∠PCA

所以PA= ，所以B（﹣1，0，0），C（0，﹣ ，0），P（0， ， ）

， ∴

設(shè)平面BPC的法向量 ，由 ，有

解得 …（10分）

由（1），取平面PCA的法向量 ．

所以cos＜ ＞=

所以二面角B﹣PC﹣A的正弦值為

【解析】（1）設(shè)O為線段AC的中點(diǎn)，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，從而B(niǎo)，O，D三點(diǎn)共線，即O為AC與DB的交點(diǎn)，可得DB⊥平面PAC即可得AE⊥BD；（2）以 所在方向?yàn)閤軸， 所在方向?yàn)閥軸，過(guò)O作AP的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系由題意，AC=2 ，OB=1，OD=2，又PA⊥平面ABCD，故直線PC與平面ABCD所成角即為∠PCA，由tan∠PCA 求得PA，利用向量求解
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)才能正確解答此題．