Question

5．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，且斜邊AB=2$\sqrt{2}$，側(cè)棱AA₁=4，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AA₁上，AE=λAA₁（λ∈R）．
（1）求證：不論λ取何值時(shí)，恒有CD⊥B₁E；
（2）當(dāng)λ為何值時(shí)，B₁E⊥面CDE．

Answer 1

分析 （1）只需證明CD⊥平面ABB₁A₁即可得出結(jié)論；
（2）B₁E⊥ED時(shí)，B₁E⊥面CDE，此時(shí)，△AED∽△A₁B₁E，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AC=BC，點(diǎn) D 為 AC 的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∵AA₁⊥平面 ABC，CD?平面 ABC，
∴AA₁⊥CD，
又AA₁?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
又B₁E?平面ABB₁A₁，
∴CD⊥B₁E．
（2）由題意，CD⊥平面A₁B，B₁E?平面A₁B，∴B₁E⊥CD，
B₁E⊥ED時(shí)，B₁E⊥面CDE，此時(shí)，△AED∽△A₁B₁E，
∴$\frac{{A}_{1}E}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{AE}$，∴A₁E•AE=8，
∴4λ•（8-4λ）=8，
∴λ=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．