Question

19．已知不等式（m²+4m-5）x²-4（m-1）x+3＞0對一切實數x恒成立，則實數m的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-5）∪（1，+∞）
• B． （1，19）
• C． [1，19）
• D． （19，+∞）

Answer 1

分析 此題要分兩種情況：①當m²+4m-5=0時，解出m的值，進行驗證；②當m²+4m-5≠0時，根據二次函數的性質，要求二次函數的開口向上，與x軸無交點，即△＜0，綜合①②兩種情況求出實數m的范圍．

解答 解：①當m²+4m-5=0時，得m=1或m=-5，
∵m=1時，原式可化為3＞0，恒成立，符合題意；
當m=-5時，原式可化為：24x+3＞0，對一切實數x不恒成立，故舍去；
∴m=1；
②m²+4m-5≠0時即m≠1，且m≠-5，
∵（m²+4m-5）x²-4（m-1）x+3＞0對一切實數x恒成立
∴有$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+4m-5＞0}\\{△=16（m-1）^{2}-12（{m}^{2}+4m-5）＜0}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{m＞1或m＜-5}\\{1＜m＜19}\end{array}\right.$，
解得1＜m＜19，
綜上得 1≤m＜19．
故選：C．

點評 此題主要考查了二次函數的基本性質，以及分類討論的思想，此題易錯點為討論m²+4m-5與0的關系，如果等于0，就不是二次函數了，這一點很重要．