Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a-1}{x}$+2a（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤ax+1在[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若n∈N^*，證明：ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{n}{2（n+1）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得a的值；
（Ⅱ）由題意可得lnx-$\frac{a-1}{x}$-ax+2a-1≤0在[1，+∞）上恒成立．令g（x）=lnx-$\frac{a-1}{x}$-ax+2a-1，求出導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，③當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，求出最大值，即可得到a的范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a=$\frac{1}{2}$時(shí)，x∈[1，+∞）時(shí)，g（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$-$\frac{x}{2}$≤0．即x∈[1，+∞）時(shí)，lnx≤$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，令x=$\frac{n+1}{n}$，得2ln$\frac{n+1}{n}$≤$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$，即2[ln（n+1）-lnn]≤$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用累加法，變形即可得證．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx-$\frac{a-1}{x}$+2a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a-1}{{x}^{2}}$，
可得f（x）在x=1處的切線的斜率為f′（1）=a，
由f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，
得a=2；
（Ⅱ）若f（x）≤ax+1在[1，+∞）上恒成立，
則lnx-$\frac{a-1}{x}$-ax+2a-1≤0在[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=lnx-$\frac{a-1}{x}$-ax+2a-1，
則g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a-1}{{x}^{2}}$-a=-$\frac{（x-1）（ax+a-1）}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，x∈[1，+∞），g′（x）≥0，g（x）單增．
所以g（x）≥g（1）=0，故舍去．
②當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{a}$-1＞1．
此時(shí)x∈（1，$\frac{1}{a}$-1），g′（x）＞0，g（x）單增，
所以x∈（1，$\frac{1}{a}$-1），g（x）＞g（1）=0．舍去．
③當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{a}$-1≤1，此時(shí)x∈[1，+∞），g′（x）≤0，g（x）單減，故x∈[1，+∞）時(shí)，
g（x）≤g（1）=0，符合題意．
綜上，若f（x）≤ax+1在[1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
證明：（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a=$\frac{1}{2}$時(shí)，x∈[1，+∞）時(shí)，g（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$-$\frac{x}{2}$≤0．
即x∈[1，+∞）時(shí)，lnx≤$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，且僅在x=1時(shí)，等號(hào)成立．
令x=$\frac{n+1}{n}$，得2ln$\frac{n+1}{n}$≤$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$，
即2[ln（n+1）-lnn]≤$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$，
所以2（ln2-ln1）≤1+$\frac{1}{2}$，2（ln3-ln2）≤$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$，…，2[ln（n+1）-lnn]≤$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$，
各式相加得2ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$×2+$\frac{1}{3}$×2+…+$\frac{1}{n}$×2+$\frac{1}{n+1}$，
整理得ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{n}{2（n+1）}$．
故n∈N^*，ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{n}{2（n+1）}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法，考查不等式的證明，注意運(yùn)用已知不等式和累加法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．